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公共汽車車門比普通房門節(jié)省的面積（擺線的應用）

問 提問者：網友 2017-05-18
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x=4r*cos^3 θ y=4r*sin^3 θ 汽車門運動時，一端在x軸上，一端在y軸上，其掃過面積的外圍構成星形線（第1象限）； ydx=-4r*sin^3θ*4r*3cos^2θsinθdθ =-16r*r*sin^4θ*3cos^2θdθ =-3r*r*(1-cos2θ)^2*(1+cos2θ)d(2θ) =-3r*r*(1+cos^2(2θ)-2cos2θ)*(1+cos2θ)d(2θ) 根據對稱性，函數cos2θ、cos^3(2θ)在（0，pi/2）區(qū)間上的積分為0。所以 原式=-3r*r*(1+cos^2(2θ)-2cos^2(2θ))d(2θ) =-3r*r*(1-cos^2(2θ))d(2θ) =-3r*r*(1/2-1/2*cos4θ)d(2θ) 再次由對稱性，原式在(0,pi/2)上積分結果為 =3r*r*1/2*pi =3r*r*pi/2 普通門掃過的面積:pi*(4r)^2/4=4pi*r^2 節(jié)省面積：(4-3/2)/4=5/8，答案為節(jié)省5/8。5/16疑為有誤。
回答者：網友
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