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歐拉定理公式的證明: d＾2=R＾2-2Rr要過程,只需要這一個(gè)證明

歐拉定理公式的證明: d＾2=R＾2-2Rr要過程,只需要這一個(gè)證明: 問提問者：網(wǎng)友 | 2017-12-12

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簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系 V+F-E=2 這個(gè)公式叫歐拉公式.公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律.方法1：（利用幾何畫板）逐步減少多面體的棱數(shù),分析V+F-E 先以簡(jiǎn)單的四面體ABCD為例分析證法.去掉一個(gè)面,使它變?yōu)槠矫鎴D形,四面體頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)V與剩下的面數(shù)F1變形后都沒有變.因此,要研究V、E和F關(guān)系,只需去掉一個(gè)面變?yōu)槠矫鎴D形,證V+F1-E=1 （1）去掉一條棱,就減少一個(gè)面,V+F1-E不變.依次去掉所有的面,變?yōu)椤皹渲π巍?（2）從剩下的樹枝形中,每去掉一條棱,就減少一個(gè)頂點(diǎn),V+F1-E不變,直至只剩下一條棱.以上過程V+F1-E不變,V+F1-E=1,所以加上去掉的一個(gè)面,V+F-E =2.對(duì)任意的簡(jiǎn)單多面體,運(yùn)用這樣的方法,都是只剩下一條線段.因此公式對(duì)任意簡(jiǎn)單多面體都是正確的.方法2：計(jì)算多面體各面內(nèi)角和設(shè)多面體頂點(diǎn)數(shù)V,面數(shù)F,棱數(shù)E.剪掉一個(gè)面,使它變?yōu)槠矫鎴D形（拉開圖）,求所有面內(nèi)角總和∑α 一方面,在原圖中利用各面求內(nèi)角總和.設(shè)有F個(gè)面,各面的邊數(shù)為n1,n2,…,nF,各面內(nèi)角總和為：∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800] = (n1+n2+…+nF -2F) ·1800 =(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）另一方面,在拉開圖中利用頂點(diǎn)求內(nèi)角總和.設(shè)剪去的一個(gè)面為n邊形,其內(nèi)角和為(n-2)·1800,則所有V個(gè)頂點(diǎn)中,有n個(gè)頂點(diǎn)在邊上,V-n個(gè)頂點(diǎn)在中間.中間V-n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和為(V-n)·3600,邊上的n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和(n-2)·1800.所以,多面體各面的內(nèi)角總和：∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（V-2）·3600.（2）由(1)(2)得：(E-F) ·3600 =（V-2）·3600 所以 V+F-E=2.（1）分式：a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b) 當(dāng)r=0,1時(shí)式子的值為0 當(dāng)r=2時(shí)值為1 當(dāng)r=3時(shí)值為a+b+c （2）復(fù)數(shù) 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 （3）三角形設(shè)R為三角形外接圓半徑,r為內(nèi)切圓半徑,d為外心到內(nèi)心的距離,則：d＾2=R＾2-2Rr （4）多面體設(shè)v為頂點(diǎn)數(shù),e為棱數(shù),f是面數(shù),則 v-e+f=2-2p p為歐拉示性數(shù),例如 p=0 的多面體叫第零類多面體 p=1 的多面體叫第一類多面體 (5) 多邊形設(shè)一個(gè)二維幾何圖形的頂點(diǎn)數(shù)為V,劃分區(qū)域數(shù)為Ar,一筆畫筆數(shù)為B,則有：V+Ar-B=1 (如：矩形加上兩條對(duì)角線所組成的圖形,V=5,Ar=4,B=8) (6).歐拉定理在同一個(gè)三角形中,它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點(diǎn)圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線.其實(shí)歐拉公式是有很多的,上面僅是幾個(gè)常用的.: 回答者：網(wǎng)友

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